Математика в музыке органа

 … Дождь все-таки пошел. Несмело, чуть-чуть. Мелкие капли падали ровно, стукая по широкому куполу зонта. Он шел парком. По левой стороне река, у выхода - фонтан с подсветкой. Струи мерно взмывали вверх и плавно опадали. Людей было немного. Дело к восьми вечера и непогода.

У входа в костел небольшая группа, желающая попасть внутрь, пропускала прихожан, выходящих после мессы. Концерт, как обычно, начинался в 20.00. Пройдя в сводчатый зал собора он выхватил взглядом свободное место на краю скамьи и спросив, свободно ли, присел.

Мягкий желтый свет освещал собравшихся, колонны, скульптуры, стены. С одной стороны свисала строительная пленка, уже несколько месяцев что-то ремонтировали. Над распахнутым иконостасом парило распятие. Слышался едва уловимый запах ладана. 

Традиционно, перед началом выступления небольшая речь от организаторов. Кто играет, что играет. Выступающий говорил быстро, в польской речи было не все понятно. Прозвучало имя Баха. Через несколько минут спикер покинул кафедру. Наступила тишина, нарушаемая шорохом, покашливанием и приглушенными репликами.

Вдоль рядов пошел служка с блюдом для пожертвований.

Наконец, первые мощные аккорды заполнили пространство. Все другие звуки были перекрыты, отброшены и забыты. Зазвучала Фантазия и фуга g-moll (g-minor) BWV 542 Иоганна Себастьяна Баха.

Зазвучал духовой орган…

Музыка и математика связь очевидна

О математическом взгляде на музыку написано немало. История тянется с античных времен. Пример - Пифагор музыка и математика(*) для которого очевидно укладывались в настройку, получившую его имя -  Pythagorean tuning.

Музыкальная гармония исследовалась через теорию множеств, абстрактную алгебру, теорию чисел и пр. У физиков музыка и математика точки соприкосновения получили в специальном разделе - акустика.

Согласно Кембриджскому словарю, музыка определяется, как “последовательность звуков, издаваемых музыкальными инструментами, голосами или компьютерами, или их комбинацией, предназначенная для того, чтобы доставлять удовольствие слушающим ее людям”.

Последовательность, ряд, здесь звукоряд - прямая отсылка к математическим приложениям. имеющие отношение к математике.

Предмет настоящей статьи: орган интересные факты, имеющие отношение к математике.

Духовой орган. Трубы

Начнем с органных труб. Прежде всего, орган это собрание духовых труб разных размеров (длины и диаметра).

Длина труб дискретно изменяется от 2 до 64 футов(**): 2, 4, 8, 16, 32 и 64 фута. Имеем геометрическую прогрессию с основанием 2 и знаменателем 2. Иначе, длина органной трубы в футах - степень двойки, от 1 до 6.

От длины трубы зависит ее звучание.

• 8 футов - отвечает базовой нотной записи.
• 4 и 2 фута соответственно дают звук на одну и две октавы выше.
• 16 и 32 фута - на одну и две октавы ниже. 
• 64 фута создают звучание уже на три октавы ниже 8-футовой трубы, выводя инфразвук.

Таким образом, основная труба - 8 футов (2 в кубе); октавы выше - 2 в квадрате и 2 в первой степени; октавы ниже 2 в четвертой, 2 в пятой и 2 в шестой степени. 

Напомним, октава - музыкальный интервал, в котором частота высокого звука в два раза больше частоты низкого звука. Опять же имеем двойку в качестве множителя. 

Духовой орган. Регистры

Понятие регистров широко используется в теме орган музыкальный инструмент как работает и как он сконструирован.

Под регистром понимают отдельный ряд труб органа одного тембра или устройство для доступа сжатого воздуха к трубам, а также рукоятки и кнопки на пульте для управления инструментом.

Регистры, как трубные ряды. группируются в семейства. Основное множество составляют 32-, 16-, 8-, 4-, 2- и 1-футовые регистры, именуемые принципалами, флейтами и гамбами. Исходя из написанного выше, здесь добавлен футовый регистр и убран 64-футовый. Все тот же двоичный знаменатель.

Вспомогательные или обертоновые регистры представлены аликвотами и микстурами. 

Механика взаимодействия регистров такова.

Основной регистр выдает только один звук заданной высоты, силы и тембра. Аликвоты добавляют порядковый обертон к звуку заданного регистра. Микстуры воспроизводят аккорд, состоящий из нескольких (бывает до 50) обертонов. Получается  своеобразный коктейль или микс, микстура из аликвотов.

Подобный набор дает возможность особое, ни с чем не сравнимое, наслаждение внимать звукам органа.

Орган инструмент слушать и слышать - одно из высших проявлений человеческого духа.  

Английскому художнику Роджеру Элиоту Фраю, автору термина “постимпрессионизм”, приписывают цитату: “Бах почти заставляет меня поверить в Бога”. Излишне говорить, какое место в наследии И.С. Баха составляют сочинения для органа.

… Когда он выходил из собора дождь не прекратился. Шел, по-прежнему,  тихо и ровно. Почти стемнело. Зажглись огни. В парке все так же безлюдно. Капли выбивали по куполу зонта последовательность со знаменателем два. Одна капля, потом две, потом четыре…

Примечания:

* - Автор приносит извинения за некоторые фразеологические и пунктуационные шероховатости, возникающие по тексту. Увы, требования SEO-оптимизации по точному вхождению ключей.

**- 1 “международный” фут = 0,3048 м.

Источники:

1. Орган (музыкальный инструмент), Википедия.

2. Регистр органа, Википедия.

3. Фут, Википедия.

4. Октава, Википедия.

5. Фрай, Роджер, Википедия.